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Statistik Praxistipps

Logarithmische Normalverteilung

Anders als in vielen Grundkursen (und leider auch fortgeschrittenen Vorlesungen) zur Statistik sind die allermeisten Variablen in der Realität nicht normalverteilt (Stichwort: Gauss), sondern folgen einer logarithmischen Normalverteilung. Diese wird kurz auch Lognormalverteilung genannt. Dies bedeutet einfach, dass nicht die Variable selbst normalverteilt ist, sondern die Logarithmen der jeweiligen Werte.

Damit im Zusammenhang steht Benford’s Law.

Die wichtigste Kenngröße einer Lognormalverteilung ist μ* (sprich: „müh-stern“ oder „mju-star“), die dem Mittelwert der Normalverteilung entspricht. Unter praktischen Gesichtspunkten ist μ* identisch mit dem Median der Verteilung, d.h. μ* unterteilt die Menge der Werte in zwei gleich große Hälften – 50 % der Werte liegen unterhalb, 50 % oberhalb.

Die Breite der Verteilung wird durch die logarithmische Standardabweichung bestimmt, auch als σ* (sprich: „sigma-stern“ oder „sigma-star“) bezeichnet. Während die Standardabweichung in der Normalverteilung die gleiche Einheit wie die Variablen selbst hat, ist σ* tatsächlich ein dimensionsloser Faktor. Er sagt aus, dass sich in dem Intervall von I1 = μ* / σ* bis I2 = μ* x σ* ca. 68 % der Ergebnisse finden. Der kleinste mögliche Wert für σ* ist 1, je größer σ* ist, desto breiter ist die Verteilung.

μ* und σ* mit Microsoft Excel berechnen

Wenn die zu untersuchenden Variablen in einer Spalte X vorliegen, kann die Berechnung mit diesen Formeln erfolgen:

  • μ*: {=EXP(MITTELWERT(WENN(ISTZAHL(X1:X999);LN(X1:X999);"")))}
  • σ*: {=EXP(STABW(WENN(ISTZAHL(X1:X999);LN(X1:X999);"")))}

Die geschweiften Klammern { } deuten an, dass es sich um eine Excel-Matrixfunktion handelt. Die Formel wird zunächst ohne diese Klammern in das Ausgabefeld eingegeben, dann der Cursor rechts hinter die letzte Klammer gesetzt und die Bearbeitung des Feldes mit der Tastenkombination CTRL+SHIFT+ENTER abgeschlossen. Excel erzeugt dann die geschweiften Klammern. Nach einer weiteren Bearbeitung des Feldes verschwinden sie aber wieder, d.h. jede weitere Bearbeitung muss wie oben beschrieben abgeschlossen werden.

Konfidenzintervalle bestimmen

Weil die Angaben μ* und σ* in der Praxis häufig nicht gut bzw. einfach verstanden werden, sollte man zur Darstellung einer Lognormalverteilung (zumindest für statistisch nicht vorgebildete Zuhörer) lieber die leichter erklärbaren Konfidenzintervalle verwenden. Diese können einfach nach den folgenden Formeln abgeleitet werden (wobei es sich um Abschätzungen handelt, Voll-Statistiker mögen dies entschuldigen).

  • P10 = μ* / (σ* ** 1,282)
  • P25 = μ* / (σ* ** 0,675)
  • P50 = μ*
  • P75 = μ* x (σ* ** 0,675)
  • P90 = μ* x (σ* ** 1,282)

Mittelwerte und gewichtete Mittel bei Lognormalverteilungen